Matematiksel Nesnelerin Varlık Sorunu

Matematiksel Nesnelerin Varlık Sorunu 

—hakikat nesnellikle ilgilidir; iyilik kavramı ise hemen hemen nesneldir. bu kavramlara bakanın “beğeni”sine bağımlı olan ‘güzellik’ kavramı nesnel değildir.”/mortimer adler-six great ideas—

 Matematiksel nesneler ile fiziksel nesneler arasında bir fark var mıdır? Eğer varsa nasıl bir ayırım yapılabilir? Fiziksel nesneleri somut, matematiksel nesneleri soyut olarak nitelemek mümkün müdür? Matematiğin kapsadığı nesnelerin kaynağı nedir? Matematikçi bu nesneleri nasıl bulur? Bu tarz sorulara cevap veren görüşlerden en önemlileri ‘realizm’, ‘nominalizm’ ve ‘yapımcılık’ olarak belirlenebilir.

 Realizm’ e göre soyut nesneler somut nesneler gibi nesnel gerçekliğin bir parçasıdır. Fiziksel dünyanın var olması gibi, matematik de insan düşüncesinden bağımsız olarak vardır. Bertrand Russell(1872-1970) “Mistisizm ve Mantık” adlı kitabında bu konuda şöyle demiştir:

 ” Platon matematiksel doğrular üzerinde düşünmeye tanrılara yaraşır bir şey olarak bakardı “.

 Platoncu Realizm’ e göre soyut nesnelerin olgusal dünya ile nedensel ilişkisi yoktur. Matematik ve matematiksel doğrular ‘hep’ vardırlar ve onlara ait bilgimiz algıdan değil daha önce aklın ‘idealar’ dünyasında kazanmış olduğu deneyimlerden ileri gelir. Descartes’ a göre matematiksel doğrular, Tanrı’ nın doğuştan düşüncemize yerleştirdiği kavramların bir sonucudur.

 Platonculara göre, matematiğin bazen bağımsız, kendi nesnel yasaları vardır, örneğin 1375803 sayısının asal olup olmadığı bizim seçimimize bağlı değildir. Yine aynı şekilde pi sayısı evrensel nesnedir ve hep var olmuştur. Matematikçi Pi sayısını gözlem ya da araştırma sonucu değil çağrışım ya da iç kavrayış sonucu bulmuştur. h, a ve b kenarlı bir dik üçgenin hipotenüsü ise a² + b² = h² bağıntısını kabul etmek zorunda kalırız.

 Euler de matematiğin kesin ve zorunlu doğrularının Tanrı’ nın kanıtlarını taşıdığı görüşündedir.

Platoncu realizm’ e göre matematiksel nesneler insan icadı değildir. matematiksel nesneler insan düşüncesinden bağımsız ve olgusal dünyanın dışında bir gerçekliğe sahiptir.

 Modern realizm’ e göre matematikçi varlığı bizden bağımsız nesneyi doğada ‘gözlem’ yolu ile bulur. örneğin pi sayısı, salt düşünce ürünü ya da isteğe göre oluşturulmuş bir sayı değildir. Bu sayı çemberin çevresi ile çapı arasındaki değişmez ilişkiyi gösterir.

 Bertrand Russell, realist olduğu dönemde görüşünü şu şekilde belirtmiştir:

 ” Aritmetik colomb’ un Amerika’ yı keşfi anlamında bir keşiftir. O nasıl kızılderilileri yaratmadıysa, biz de sayıları yaratmış değiliz… Bir şey var olduğu için düşünülebilir, var olma düşünülmüş olmanın sonucu değil, ön koşuludur. “

 Realizm’ i savunan seçkin matematikçiler arasında G. H. Hardy (1877-1947) ve Kurt Gödel (1906-1978) gibi isimler de vardır. G. H. hardy “a mathematician s apology” adlı eserinde şöyle demektedir:

 ” Benim için ve kanımca matematikçilerin büyük çoğunluğu için ‘matematiksel gerçeklik’ diyebileceğim bir gerçeklik vardır… matematikçi olarak işlevimizin, dışımızda var olan bu gerçekliği keşfetmek olduğuna inanıyorum. İspatladığımız ve de övünerek ‘yarattıklarımız diye kendimize mal ettiğimiz teoremler aslında gözlemle bulduğumuz nesnelerdir. “

 Gödel, matematiksel nesnelerin algılandığına dair görüşünü şu şekilde belirtir:

 ” Matematiksel sezgi türünden algılamayı, duyusal algılamadan daha az güvenilir saymak için hiçbir neden görmüyorum. set – kuramsal paradoksların matematik için yarattığı sıkıntının, duyumsal yanılgıları fizik için sıkıntıda daha fazla olduğu söylenemez. Matematiksel sezgi verilerini, duyu organlarımızla ulaştığımız nesnelere ait değildir diye, kant’ ın ileri sürdüğü gibi, salt öznel saymak yanlıştır. Tam tersine bu verileri de nesnel dünyanın bir parçası sayabiliriz. “

 Görüşlerden bir diğeri olan Nominalizm’e göre ise soyut nesneler bir gerçekliğe sahip değildir ve ‘evrensel’ olarak tanımlanan nesneler yoktur. Evren tike somut nesnelerden oluşmuştur. yani 3 diye bir nesne yoktur. 3 ev, 3 ağaç vardır.

 Nominalistlere göre matematik içerikten yoksun, mantıksal bir sistemdir. Nominalistler, soyut nesneleri var saymadıklarından bir matematikçi onlar için küme, nokta, fonksiyon gibi nesneler ile değil de , bir takım formel kurallar dahilinde belirli simgelerle biri dememektir. nominalizm yüzeysel bir görüş olmakla birlikte ilerici bir görüş de değildir.

 Son görüş olarak ‘yapımcılık’ ise, Realizm ile Nominalizm arasında yer alır. Yapımcılığa göre soyut nesneler realizm’in kabul ettiği gibi insan düşüncelerinden bağımsız olarak var olmaz; aynı zamanda Nominalizm’ in kabul ettiği gibi gerçeklikten ve içerikten yoksun da değillerdir.

 Yapımcılık, soyut nesnelerin insan düşüncesinin, doğası ile etkileşimi sonucu oluşan kavramlar olduğu görüşündedir. Yapımcılık, Realizm ve Nominalizm’ in sağlam kanıtlara sahip olmadığını savunur. Yapımcılığa göre matematiksel kavramların kökeni ampirik yaşantımızdır.

 Aristoteles’ e göre matematiksel nesneler ,doğadan elde edilen soyutlamalar’ dır. Einstein ise Aristoteles ile aynı fikirde değildir.ona göre matematiksel nesneler düşüncelerin özgürce yarattığı nesnelerdir. Pi yarıçapı 1 olan olan bir dairenin alanı olarak e ise doğal logaritmanın tabanı olarak alındığında, pi ve e için soyutlama denilebilir. peki e üzeri pi için ya da i = kök-1 sayısı için soyutlama denilebilir mi? Yeterince açık olmasa da ünlü matematikçi Leopold Kronecker (1823-1891) şöyle demiştir: ” Tanrı tamsayıları yarattı, gerisi insanoğlunun eseridir “.

 Bir diğer seçkin matematikçi Gottlob Frege ise “Basic laws of Arithmetic” adlı eserinde matematiğin tüm kavramları ile birlikte sayıların da keşfedildiği görüşündedir:

 ” Nasıl ki bir coğrafyacı, ‘sınırlarını çizgilerle gösterdiğim şu alana sarı deniz adını veriyorum’ dediğinde bir deniz yaratmıyorsa, matematikçi de tanımlama becerisiyle herhangi bir şey yaratmaz … Kağıt üstüne çizilmiş küçük çembersel bir şekile, 1′ e eklendiğinde 1 veren özelliğini tanımlamayla kazandırdığımız savını, bilimsellik görünümü altında ‘batıl inanç’ sayıyorum. O şekil ‘sıfır’ adını almadan önce öyle bir özelliği taşıyan bir, yalnızca bir nesnenin var olduğunu ortaya koymamız gerekir. Bu nedenle ne sıfırı, ne de herhangi başka bir sayıyı yaratmaya olanak yoktur “

Matematiğin yaratıldığı mı yoksa keşfedildiği mi sorusu tazeliğini her zaman koruyan bir soru olacaktır. Platoncu bakış açısı ile yaklaşıldığında, matematik yıldızlar gibi oralarda bir yerlerde ‘hep’ vardır. Matematikçinin yapması gereken ise onları keşfetmektir.

 Evren matematiksel bir dille açıklanacak şekilde kurulmuştur. Matematik, evrenle konuşmamızı sağlayan dildir. Doğada gözlenen ilişkiler, matematiksel kavramlarla açıklanabilir. Örneğin yerçekimi, iki kütle arasındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır. Bu anlamda matematik, düşüncesinin oluşturduğu bir sistem değildir.

 Başka bir görüşe göre ise, matematik, insan zekasının bir ürünüdür. Doğadan bağımsız olarak kurulmuştur. oluşturulan kavramların doğaya uygun olması gibi bir zorunluluk yoktur. Daha önce de değindiğimiz gibi einstein ve diğer bazı düşünürlere göre matematiksel kavramlar, insan düşüncesi tarafından olgusal dünyadan bağımsız bir şekilde üretilmiştir.

 Matematikçiyi, diktiği giysileri, kimsenin giyemeyeceğinden habersiz bir terziye benzeten Tobias Dantzig şöyle demiştir:

 ” Bir bilgenin ders verdiği kürsüsünü iki katına çıkarma problemi çözme girişimi, koni kesitlerini bulmaya yol açar; bu da sonunda gezegenlerin güneş çevresinde çizdikleri yörüngelere model oluşturur. Cardan ile Bombelli’ nin icat ettikleri sanal sayıların beklenmedik bir biçimde, alternatif akımların özelliklerini betimlediği görülür. Riemann’ ın bir fantezi olarak ortaya attığı mutlak diferansiyel hesabı, relativite teorisi için aranan bir anlatım biçimi olur. Cayley ile Sylvester’ ın yaşadığı dönemde tümüyle gerçek dışı görülen matrislerin, çok sonra kuantum teorisinin sergilediği şaşılası olaylar için biçilmiş kaftan olduğu görülür. “

 Birbirine zıt olan bu görüşlerde gerçek payı bulunabilir. Öyle ki matematiksel kavramlar, doğanın bize yüklediği doğrular olsaydı birbirine zıt teoriler ya da yetersizliği daha sonra ortaya çıkacak teoriler oluşturulamazdı. Öte yandan matematiği, tümüyle insan düşüncesinin oluşturduğu bir sistem saymak ne kadar doğru kabul edilebilir.

 Aritmetiğin ve geometrinin kaynağı insan deneyimleridir. Ayrıca bu görüş, doğanın istenilen biçimi alabileceği gibi bir durum yaratır.

 Peki, doğa istenilen biçimi almaya elverişli midir? eğer bu sorunun cevabı evet olsaydı teorileri doğru ya da yanlış diye nitelendirmek anlamsız olurdu.

 kaynaklar:

– Plenitude ilkesi :  Bir şey düşünülebiliyorsa, o şeyin bir yerde var olduğu ilkesidir ve matematiğe de uygulanır.  Aristo menşeili tartışmaya açılan, düşünür Arthur Lovejoy’un The Great Chain of being” adlı eserinde Neoplatonizm çerçevesinde literatüre giren, Hıristiyan teolojisinin gözbebeği, Kant’tan Bruno’ya bir çok düşünürün varoluşçuluk adı altında bu ilkeye kendini teslim ettiği, paralel evrenlere ilişkin açıklama, araştırma ve makalelerde sıkça kullanılan bir ilkedir.

-T. Dantzig, ” number: the language of science”

-B. Russell, ” is position in space and time absolute or relative?”

-G. H. Hardy, ” a mathematician’ s apology “

-Kurt Gödel, ” what is cantor’ s continium problem?”

– Benacerraf and Putnam, “philosophy of mathematics”